在数学中，极限是一个非常基础且重要的概念，尤其在微积分和函数分析中。当我们说一个函数的极限“存在”时，通常指的是该函数在某一点附近趋于某个确定的数值。然而，并不是所有函数在所有点都存在极限，有时候极限是“不存在”的。那么，究竟在哪些情况下，函数的极限会“不存在”呢？
一、函数值无限增大或减小
这是最常见的极限不存在的情况之一。当自变量趋近于某个值时，函数值会趋向于正无穷或负无穷，这种情况下我们说极限“不存在”，或者更准确地说，“极限为无穷”。
例如：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty
$$
$$
\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty
$$
虽然从某些角度来说极限趋向于无穷大，但在严格的数学定义中，这样的极限是不收敛的，因此可以认为极限“不存在”。
二、左右极限不相等
对于函数在某一点处的极限是否存在，需要满足左极限和右极限同时存在并且相等。如果左右极限不一致，那么整体的极限就不存在。
例如：
$$
f(x) =
\begin{cases}
1, & x > 0 \\
-1, & x < 0
\end{cases}
$$
那么：
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1,\quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1
$$
由于左右极限不相等，所以：
$$
\lim_{x \to 0} f(x) \text{ 不存在}
$$
三、函数值在两个或多个值之间震荡
有些函数在接近某一点时，其值会在几个固定值之间不断跳跃或震荡，无法稳定在一个确定的值上。这种情况也属于极限不存在的范畴。
例如：
$$
f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)
$$
当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x}$ 趋向于无穷大，导致 $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 在 $[-1, 1]$ 之间不断震荡，没有趋于任何特定值，因此极限不存在。
四、函数在某点无定义，且无法通过连续性补全
如果函数在某一点处没有定义，而该点附近的函数值也无法趋近于一个确定的数，那么极限也不存在。
例如：
$$
f(x) = \frac{1}{x}
$$
在 $x = 0$ 处无定义，且当 $x \to 0$ 时，函数值趋向于正无穷或负无穷，因此极限不存在。
五、极限趋于某个值但函数在该点未定义
即使函数在某点附近趋于某个值，但如果该点本身没有定义，且无法通过定义来补全，也可能被认为是极限不存在。
比如：
$$
f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}
$$
在 $x = 1$ 处无定义，但我们可以化简为：
$$
f(x) = x + 1 \quad (x \neq 1)
$$
此时：
$$
\lim_{x \to 1} f(x) = 2
$$
虽然极限存在，但如果原函数在该点没有定义，可能被误认为极限不存在。不过严格来说，只要极限存在，无论函数在该点是否定义，极限都是存在的。
总结
综上所述，极限“不存在”的常见情况包括：
1. 函数值趋向于正无穷或负无穷；
2. 左右极限不相等；
3. 函数值在多个值之间震荡；
4. 函数在该点无定义且无法通过连续性补全；
5. 极限趋于某个值但函数在该点未定义（需结合具体定义判断）。
理解这些情况有助于我们在学习微积分、分析函数性质时更加严谨地判断极限的存在性，避免出现错误的结论。
