正文

你写的 cnm 实际就是组合数记号 C (n,m)，读作从 n 个元素里面选取 m 个元素的组合，核心特点是只选不排序，选出的元素不考虑先后顺序，公式是 C (n,m)= n! ÷ [ m! × (n−m)! ]，其中 n 是总元素个数，m 是选取个数，n 和 m 都是非负整数，并且要求 0 ≤ m ≤ n，阶乘符号！代表从 1 连续乘到这个数字，比如 5! = 5×4×3×2×1=120。与之对应的排列是 A (n,m)，排列是要区分顺序，公式 A (n,m)=n!÷(n−m)!，做题的时候最关键就是判断题目是否需要排序，区分排列和组合。

核心公式与性质

基础公式

C (n,m)= n!/[m!(n−m)!]

特殊规定 C (n,0)=1，C (n,n)=1，C (n,1)=n

常用性质

性质 1 C (n,m)=C (n,n−m)，意思选 m 个，等价于剩下 n−m 个，计算的时候可以简化大数运算

性质 2 C (n,m)+C (n,m−1)=C (n+1,m)，也就是杨辉三角递推公式

性质 3 C (n,0)+C (n,1)+C (n,2)+…+C (n,n)=2ⁿ

排列和组合对比表

计算例题

例 求 C (5,2)

C (5,2)= 5!/[2!×(5−2)!] = (5×4×3×2×1) ÷ [(2×1)×(3×2×1)] = 10

例 利用性质简化 C (10,8)

C (10,8)=C (10,2)=(10×9)÷(2×1)=45

解题判断步骤

第一步 读题，看选出之后是否需要排位置，需要排序就是排列 A (n,m)，不需要排序就是组合 C (n,m)

第二步 确认 n 总数量，m 选取数量，确认 m 不能大于 n

第三步 代入阶乘公式，优先利用 C (n,m)=C (n,n−m) 简化计算

第四步 算出结果，检查是否符合题意

相关 FAQ

问题 1 C (n,m) 里面 m 大于 n 可以吗

回答 1 C (n,m) 要求 m 不能大于 n，如果 m 大于 n，组合数没有意义，规定等于 0。

问题 2 C (n,m) 和 A (n,m) 是什么关系

回答 1 A (n,m)=C (n,m) × m!，也就是组合选出之后，再对 m 个元素全排列，就得到排列数。

问题 3 C (n,m) 什么时候用递推公式

回答 1 计算杨辉三角或者递推类题目时使用 C (n,m)+C (n,m−1)=C (n+1,m)，可以不用每次都算阶乘。

免责声明

本文内容为高中数学排列组合基础公式科普，仅用于学习参考，考试解题请以教材标准定义为准。