【两圆的公共弦长怎么求】在几何中，两个圆相交时，它们的交点之间的线段称为“公共弦”。求解两圆的公共弦长是解析几何中的一个常见问题。本文将总结如何根据两圆的方程或位置关系，计算出它们的公共弦长度。
一、基本概念
- 两圆相交：若两个圆有且仅有两个交点，则它们相交。
- 公共弦：连接两圆交点的线段称为公共弦。
- 公共弦长：即该线段的长度。
二、求解方法总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定两圆的方程（一般式或标准式） |
| 2 | 求出两圆的圆心坐标和半径 |
| 3 | 计算两圆圆心之间的距离 $ d $ |
| 4 | 判断两圆的位置关系（相离、相切、相交） |
| 5 | 若相交，利用几何公式求公共弦长 |
三、具体计算公式
设两圆分别为：
- 圆 $ C_1: (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 $
- 圆 $ C_2: (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 $
公共弦长公式：
当两圆相交时，公共弦长 $ L $ 可由以下公式计算：
$$
L = 2 \sqrt{r_1^2 - \left( \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d} \right)^2}
$$
其中：
- $ d $ 是两圆圆心之间的距离，即：
$$
d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}
$$
四、举例说明
假设两圆方程如下：
- 圆 $ C_1 $：$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 $
- 圆 $ C_2 $：$ (x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 16 $
步骤如下：
1. 圆心分别为 $ (1, 2) $ 和 $ (4, 6) $，半径分别为 $ r_1 = 3 $，$ r_2 = 4 $
2. 圆心距离 $ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 $
3. 代入公式计算公共弦长：
$$
L = 2 \sqrt{3^2 - \left( \frac{5^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 5} \right)^2}
= 2 \sqrt{9 - \left( \frac{25 + 9 - 16}{10} \right)^2}
= 2 \sqrt{9 - \left( \frac{18}{10} \right)^2}
= 2 \sqrt{9 - 3.24} = 2 \sqrt{5.76} = 2 \times 2.4 = 4.8
$$
所以，公共弦长为 4.8。
五、注意事项
- 当两圆相离或内含时，没有公共弦；
- 当两圆外切或内切时，公共弦退化为一个点；
- 公共弦一定垂直于两圆的连心线；
- 若已知两圆的交点坐标，可以直接用两点间距离公式求得公共弦长。
六、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 两圆的公共弦长 |
| 定义 | 两圆交点间的线段 |
| 求法 | 几何公式结合圆心距与半径 |
| 公式 | $ L = 2 \sqrt{r_1^2 - \left( \frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2d} \right)^2} $ |
| 应用场景 | 相交两圆的几何分析 |
| 注意事项 | 需判断圆的位置关系，避免无解情况 |
通过以上方法，可以系统地解决“两圆的公共弦长怎么求”的问题。理解并掌握这些步骤和公式，有助于进一步学习解析几何和空间几何的相关知识。
