【正弦、余弦、正切公式】在三角函数中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）是最基本的三个函数，它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。为了更好地理解和掌握这些函数的基本性质及其计算方式，以下是对正弦、余弦、正切公式的总结，并通过表格形式进行对比说明。
一、基本定义
| 函数名称 | 定义式 | 单位 | 常见角度值 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | 弧度或角度 | sin(0°)=0, sin(30°)=1/2, sin(45°)=√2/2, sin(60°)=√3/2, sin(90°)=1 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | 弧度或角度 | cos(0°)=1, cos(30°)=√3/2, cos(45°)=√2/2, cos(60°)=1/2, cos(90°)=0 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | 弧度或角度 | tan(0°)=0, tan(30°)=1/√3, tan(45°)=1, tan(60°)=√3, tan(90°)无定义 |
二、常用公式
| 公式类型 | 公式表达 | 说明 |
| 基本关系 | sin²θ + cos²θ = 1 | 三角恒等式 |
| 倒数关系 | tanθ = sinθ / cosθ | 正切是正弦与余弦的比值 |
| 周期性 | sin(θ + 2π) = sinθ cos(θ + 2π) = cosθ tan(θ + π) = tanθ | 三角函数的周期特性 |
| 奇偶性 | sin(-θ) = -sinθ cos(-θ) = cosθ tan(-θ) = -tanθ | 正弦为奇函数，余弦为偶函数，正切为奇函数 |
| 和角公式 | sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ) | 计算两个角之和或差的三角函数值 |
| 倍角公式 | sin(2θ) = 2sinθcosθ cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ) | 计算两倍角的三角函数值 |
三、应用举例
1. 求解直角三角形中的边长：
已知一个直角三角形的斜边为10，角A为30°，则对边长度为：
$$
\text{对边} = \sin(30^\circ) \times 10 = \frac{1}{2} \times 10 = 5
$$
2. 计算角度的三角函数值：
若 $\theta = 45^\circ$，则：
$$
\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \tan(45^\circ) = 1
$$
3. 使用和角公式计算 $\sin(75^\circ)$：
$$
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)
$$
$$
= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
四、注意事项
- 在使用三角函数时，需注意单位的一致性，通常使用弧度制进行数学计算。
- 正切函数在某些角度（如90°、270°等）是没有定义的，因为此时余弦值为零，导致分母为零。
- 实际应用中，常借助计算器或三角函数表来查找特定角度的函数值。
通过以上内容的总结，可以更清晰地理解正弦、余弦、正切的基本概念、公式及实际应用。掌握这些基础知识，有助于进一步学习三角函数的相关知识，如余切、正割、余割等，以及它们在解析几何、微积分等领域的应用。
