【105的三角函数值】在三角函数的学习中，常见的角度如30°、45°、60°等都有明确的函数值，但像105°这样的角度则需要通过三角恒等式或特殊角的组合来计算。105°可以看作是60°与45°的和，因此可以通过和角公式求得其正弦、余弦和正切值。以下是对105°三角函数值的总结。
一、105°的三角函数值推导
105° = 60° + 45°，利用三角函数的和角公式：
- sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
- cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB
- tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB)
代入 A = 60°, B = 45°：
正弦值：
$$
\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin60^\circ \cos45^\circ + \cos60^\circ \sin45^\circ
$$
$$
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
余弦值：
$$
\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos60^\circ \cos45^\circ - \sin60^\circ \sin45^\circ
$$
$$
= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}
$$
正切值：
$$
\tan(105^\circ) = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan60^\circ + \tan45^\circ}{1 - \tan60^\circ \tan45^\circ}
$$
$$
= \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
有理化分母后可得：
$$
\tan(105^\circ) = - (2 + \sqrt{3})
$$
二、105°三角函数值表格
| 角度 | 正弦值 | 余弦值 | 正切值 |
| 105° | $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ | $- (2 + \sqrt{3})$ |
三、小结
105°是一个非标准角度，但它可以通过将它分解为60°和45°的和，利用三角函数的和角公式进行计算。其三角函数值虽然形式复杂，但具有明确的表达方式，便于在数学计算和几何问题中使用。掌握这些值有助于提高对三角函数的理解和应用能力。
