【特征多项式的定义】在数学中，尤其是线性代数领域，特征多项式是一个非常重要的概念，它与矩阵的特征值和特征向量密切相关。通过特征多项式，我们可以求解矩阵的特征值，并进一步分析矩阵的性质，如可对角化、行列式、迹等。
一、特征多项式的定义
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A $，其特征多项式是关于变量 $ \lambda $ 的多项式，定义为：
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中：
- $ \lambda $ 是一个标量；
- $ I $ 是单位矩阵；
- $ \det $ 表示行列式运算。
该多项式的根即为矩阵 $ A $ 的特征值，而对应的非零向量称为特征向量。
二、特征多项式的性质总结
| 特征 | 内容说明 |
| 定义形式 | $ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) $ |
| 次数 | $ n $（与矩阵阶数相同） |
| 系数 | 可由矩阵的元素计算得出，例如： - 常数项为 $ (-1)^n \cdot \det(A) $ - 最高次项系数为 $ (-1)^n $ - 次高次项系数为 $ -\text{tr}(A) $（即矩阵的迹） |
| 根的意义 | 多项式的根为矩阵的特征值 |
| 与特征向量的关系 | 对于每个特征值 $ \lambda $，存在非零向量 $ v $ 满足 $ Av = \lambda v $ |
| 与矩阵相似性 | 相似矩阵具有相同的特征多项式 |
| 与矩阵的可逆性 | 若 $ \lambda = 0 $ 是特征值，则矩阵不可逆 |
三、举例说明
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，则其特征多项式为：
$$
p(\lambda) = \det\left( \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \right) = (2 - \lambda)(3 - \lambda)
$$
展开后得到：
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6
$$
该多项式的根为 $ \lambda_1 = 2 $ 和 $ \lambda_2 = 3 $，即为矩阵 $ A $ 的两个特征值。
四、总结
特征多项式是研究矩阵性质的重要工具，能够帮助我们理解矩阵的结构和行为。通过计算特征多项式，我们可以得到矩阵的特征值，从而进一步分析其稳定性、变换特性等。在实际应用中，特征多项式广泛用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
